오늘 우리는 새로운 각도의 표기 방법에 대해 알아보겠습니다.
원래 우리가 사용하던 각도 표기법은 "60분법(sexagesimal measure, 六十分法)" 입니다.
((1^{\circ}))(1도, 1 degree)를 60개로 쪼개면 ((1'))(1분, 1 arcminute), 1분을 60개로 쪼개면 ((1''))(1초, 1 arcsecond)입니다.
우리는 이 표기법에 익숙해져 있습니다.
하지만 왜 우리는 이 60분법을 사용할까요? 무엇이 좋을까요? 왜 원 한바퀴를 360도라고 정의했을까요?
이것은 60진법을 사용한 수메르인들의 유산입니다. 우리는 수메르인의 영향을 받아 시간의 단위도 60진법을 사용하고 있죠.
60진법을 채택한 이유는 단순히 60의 약수가 많기 때문입니다.
일상생활에서 사용하기에는 직관적이고 편리하지만 단순히 저런 이유만으로는 수학적인 측면에서 그리 합리적인 각도 표기법은 아니죠.
그리고 삼각법, 이후 고등한 수학을 다루면서는 갈수록 불편함을 느끼게 될겁니다.
그래서 만든 것이 호도법(circular measure, 弧度法)입니다.
호도법이란 말 그대로 "호로 각도를 읽는 방법" 이라는 뜻입니다.
로저 코츠(Roger Cotes), 호도법을 발명(발견)한 영국의 수학자로 아이작 뉴턴(Issac Newton)의 제자입니다.
1714년 오일러 항등식(Euler's Identity) ((e^{i \pi} = -1))을 최초로 발견한 사람이기도 합니다. 이후 1748년 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)가 재발견하게 되며 유명해졌습니다.
반지름과 호의 길이가 같은 부채꼴이 있을 때, 그 부채꼴의 중심각의 크기를 1 라디안 (radian) 이라고 정의하고 ((1\:rad)) 또는 ((rad))를 생략하고 ((1))이라고 표시합니다.
(왜 단위를 생략해도 되는지는 아래에 나옵니다. )
radian은 반지름을 뜻하는 영어 radius의 복수 radii와 angle의 합성어입니다.
위의 정의를 수식으로 나타내면 다음과 같습니다.
60분법으로 나타낸 부채꼴의 중심각의 크기를 ((\phi)), 반지름의 길이를 ((r))이라고 하면,
부채꼴의 호의 길이 ((l))은 아래 식과 같이 표현될 수 있습니다.
$ l = 2\pi r\cdot \frac{\phi}{360^{\circ}} = r \frac{\pi}{180^{\circ}}\phi $
이 때
$ \frac{\pi}{180^{\circ}}\phi = \theta $
라고 하고 ((\theta))를 각의 크기로 정의하는 것이 바로 호도법인 것입니다.
좀 더 나아가 볼까요?
호의 길이 ((l))을 ((\theta))로 나타내면
$ l = \theta r $
이 됩니다.
이것을 다시 ((\theta)) 에 대한 식으로 정리하면
$ \theta = \frac{l}{r} $
위의 식에서 조금만 더 나아가봅시다.
호도법의 발상을 이용해 부채꼴의 넓이를 구하는 식을 유도할 수 있습니다.
부채꼴의 넓이를 ((S))로 놓고
원과 부채꼴의 둘레와 넓이 사이의 비례식을 세워보죠.
$ 2 \pi : \pi r^2 = \theta : S $
외항의 곱은 내항의 곱과 같으므로
$ 2 \pi S = \pi r^2 \theta $
$ S = \frac{\pi r^2 \theta}{2 \pi} $
((\pi))를 약분하면
$ S = \frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} \theta r \cdot r $
이때, ((\theta r = l)) 이므로
$ S = \frac{1}{2}lr $
호도법은 위처럼 각의 크기가 곧 호와 반지름의 길이의 비가 되기 때문에 단위를 쓰지 않아도 되고,
나중에 배우겠지만 삼각함수의 정의역을 각도가 아닌 실수로 확장시키는데, 더 나아가 전혀 각도가 아닌 허수도 정의역으로 넣을 수 있게 됩니다. 계산도 60분법에 비해 간편해 널리 쓰이고 있습니다.
((\theta))(theta)는 "세타", ((\phi))(phi)는 "파이"라고 읽으며, 보통 각의 크기를 나타내는데 사용되는 그리스 문자들입니다. ((\phi))는 공집합을 나타내는 기호로도 사용됩니다.
그렇다면 반지름의 길이가 1이고 호의 길이가 2인 부채꼴의 중심각의 크기는 얼마일까요?
((2\: rad)) 이지요.
그렇다면 여기서 질문, ((360^{\circ}))는 호도법으로 몇 라디안 일까요?
아래 더보기를 눌러 정답을 확인하세요.
원주(원 둘레)가 ((2\pi r))이므로 ((360^{\circ}))는 ((2\pi \: rad \approx 6.288318531...\: rad )) 입니다.
그렇습니다.
((360^{\circ}))가 ((2\pi \: rad ))이기 때문에 ((180^{\circ}))는 ((\pi \: rad ))입니다.
이제 문제를 좀 내볼게요.
((90^{\circ}))는 몇 라디안 일까요?
((180^{\circ}))의 절반이 ((90^{\circ})) 이므로 (( \frac{\pi}{2}\:rad))입니다.
어떻게 하는 것인지 이해가 가기 시작하나요?
((60^{\circ}))는 몇 라디안 일까요?
((180^{\circ}))의 3분의 1이 ((60^{\circ})) 이므로 (( \frac{\pi}{3}\:rad))입니다.
((45^{\circ}))는 몇 라디안 일까요?
((180^{\circ}))의 4분의 1이 ((45^{\circ})) 이므로 (( \frac{\pi}{4}\:rad))입니다.
((30^{\circ}))는 몇 라디안 일까요?
((180^{\circ}))의 6분의 1이 \30^{\circ})) 이므로 (( \frac{\pi}{6}\:rad))입니다.
맞습니다.
((180^{\circ}))는 ((\pi \: rad )) 이므로
60분법의 각을 ((180^{\circ}))에 대한 비(분수)의 형태로 나타낼 수 있습니다.
위에서 우리는 특수각을 라디안으로 나타내었습니다. 하지만 특수각은 180도를 60의 약수로 나누어서 나오는 각들이죠, 아직 60분법에서 벗어나지 못하였다는 뜻입니다. 굳이 60분법을 버릴 필요는 없지만 삼각법을 수월하게 배우기 위해서는 호도법에 익숙해 지는 것이 중요합니다.
그런 의미로 질문,
((50^{\circ}))는 몇 라디안 일까요?
비례식으로 풀어봅시다.
$ \pi\: : 180 = x : 50 $
비례식에서 내항의 곱은 외항의 곱과 같으므로,
$ 180x=50\pi $
$ x = \frac{50}{180}\pi $
$ \therefore x=\frac{5}{18}\pi $
좋습니다.
그러면 이제 호도법으로 나타낸 각도를 60분법으로 나타내 볼까요?
생각해 봅시다.
어떻게 하면 라디안을 도로 변환할 수 있을까요?
60분법을 호도법으로 변환한 것을 거꾸로 하면 됩니다.
예를 들어 ((\frac{\pi}{7}\:rad))라는 각이 있다고 합시다.
이 각을 60분법으로 변환하기 위해 다시 한번 비례식을 세워봅시다.
$ \frac{\pi}{7}:\pi = x:180 $
$ \pi x = \frac{\pi}{7} \cdot 180 $
양변에서 ((\pi))를 나눠주면
$ x = \frac{180}{7^{\circ}} $
하지만 매번 이렇게 비례식을 세우는 것은 상당히 귀찮습니다.
위 과정을 결과만 가지고 일반화 시켜봅시다.
((rad)) 를 ((^{\circ}))로 변환하려면
호도법으로 나타낸 각도에서 ((\pi))를 나눈 후 180을 곱합니다.
한번 해볼까요?
((\frac{\pi}{12}\:rad))을 60분법으로 나타내 보세요.
위에서 일반화시킨 방법을 사용하여
일단 ((\pi))를 나눠주면
$ \frac{1}{12} $
180을 곱해주면
$ \frac{180}{12} $
$ = 15^{\circ} $
이 두개의 변환 과정을 통해 결론이 도출되었습니다.
라디안(((\theta)))과 도(((^{\circ}))) 사이에는 다음과 같은 관계가 성립합니다.
$ \theta = \frac{\pi \:rad}{180^{\circ}} \phi $
$ \phi = \frac{180^{\circ}}{\pi \:rad} \theta $
$ 1\:rad = \frac{180^{\circ}}{\pi} $
$ 1^{\circ} = \frac{\pi}{180}\:rad $
그러므로 도에 ((\frac{\pi}{180}))를 곱해서 라디안으로,
라디안에 ((\frac{180}{\pi}))을 곱해서 도로 나타낼 수 있습니다.
호도법의 문제점들
1. 호도법은 부채꼴의 호의 길이를 단위로 삼는데, 이는 곡선이라 길이를 구하기가 까다롭다.
2. 모든 각이 초월수인 ((\pi))의 곱으로 나타나기 때문에 대부분의 각이 무리수로 표현되고 이는 일상생활에서 사용하기는 매우 번거롭다.
어떤 각도 표기법이 좋다 나쁘다가 아니고 각자의 장단점이 있으므로 상황에 맞게 사용하도록 합시다.
여러분은 이제 호도법에 대한 대부분의 지식을 습득했습니다!
다음 강의에서는 삼각법을 배우기 위한 기초지식 두번째,
새로운 각의 표현 방식인 일반각에 대해 배우도록 하겠습니다.
