오늘은 각을 새롭게 정의해보려고 합니다.
각 이란?
그 전에,
각의 정의가 무엇일까요?
각(angle, 角)이란 같은 시작점(끝점)을 갖는 두 반직선(Ray)이 이루는 도형입니다.
쉽게 말해 두 반직선이 벌어져 만들어진 도형입니다.
그리고 각의 크기란 두 반직선이 벌어진 정도였죠.
위의 그림을 보면,
좌표 평면 위에 각이 하나 있습니다.
저 각의 크기가 뭐죠?
((45^{\circ})) 입니다.
저번 시간에 배운 호도법으로는 ((\frac{\pi}{2} \: rad)) 이죠.
그런데 정말 그럴까요?
시초선과 동경
옆 그림에서 ((\overrightarrow{OX})) 를 시초선이라고 합니다.
시초선(Initial Ray, 始初線)이란 말 그대로 각의 시초, 각이 시작하는 선(반직선)을 말합니다.
보통 ((x)) 축 양의 방향으로 뻗어 나가는 반직선이며, 시초선 위치부터 ((\overrightarrow{OY})) 가 벌어지면서 각을 형성한다고 보시면 됩니다.
그리고 ((\overrightarrow{OY})) 를 동경이라고 합니다.
동경(Terminal Ray, 動徑)이란 각의 크기를 결정하는 선으로, 움직이는(움직일 동動) 반지름(길 경徑, 반경, 직경 등의 단어에서 쓰이는 한자로 반지름의 의미를 가짐) 이라는 뜻입니다.
왜 저것이 반지름인지는 다음에 다시 설명하겠습니다.
이제부터 각은 시초선과 동경, 이 두개로 형성됩니다. 시초선은 보통 ((x)) 축 양의 방향으로 고정되기 때문에 각의 크기는 동경이 결정하게 됩니다. 그래서 동경이 중요합니다.
시초선과 동경은 모두 벡터인데, 가상의 점을 향해 뻗어나가는 반직선이라고 보시면 됩니다.
벡터(Vector)란?
방향과 크기를 동시에 가진 양입니다. 보통 화살표로 표시되며 화살표의 길이는 크기를, 화살표의 방향은 방향을 의미합니다.
이제 시초선과 동경에 대해 배웠습니다.
여전히 저 각의 크기가 ((45^{\circ}))로만 보이시나요?
일반각
여기 시초선과 동경이 일치하는 각이 있습니다.
동경을 시계 반대 방향으로 회전시켜 볼게요.
시계 반대 방향으로 한바퀴 돌아서 돌아왔습니다.
이렇게 동경을 시계 반대 방향으로 회전 시키는 것을 양의 방향으로 회전시킨다 라고 합니다.
반대로 시계 방향으로 회전 시키는 것을 음의 방향으로 회전시킨다 라고 하겠죠.
그리고 양의 방향으로 회전시켜 나온 각을 양각, 음의 방향으로 회전시켜 나온 각을 음각이라고 합니다.
그리고 음각에는 각의 크기 앞에 ((-)) 를 붙여줍니다.
우리는 각이 반시계 방향(시계 반대 방향)으로 커지는 것에 익숙해져 있고, 그래서 반시계 방향을 양의 방향이라고 부릅니다.
그런데, 동경이 양의 방향으로 돌아가는 동안, 동경은 제 1, 2, 3, 4 사분면을 순서대로 통과했죠?
이것이 "왜 좌표평면에서 사분면들이 하필이면 이러한 순서로 있는가?" 에 대한 답입니다.
동경의 양의 회전에 따라 사분면의 순서를 정한 것이죠.
그리고 어떤 각의 동경이 특정 사분면 위에 있을 때 우리는 그 각을 특정 사분면 위의 각이라고 합니다.
예를 들어 45도의 각은 동경이 1사분면 위에 있으니 1사분면 위의 각인 것이죠.
그리고 이제 여기서 과연 "저 각의 크기가 ((45^{\circ}))가 맞을까?" 라는 저의 질문에 대한 답이 나오게 됩니다.
원래의 각에서 동경을 ((360^{\circ})) 회전시켰더니 본래 모습과 똑같아 졌죠?
그럼 지금 이 각의 크기는 ((360+45 = 405^{\circ})) 일까요?
맞다구요?
정말로요?
아닙니다.
원래 저 각이 ((45^{\circ})) 라는 보장이 없는데 누가 동경을 어느 방향으로 몇 바퀴나 돌렸는지 알게 뭡니까?
라는 것은 양의 최소각입니다.
그래서 우리는 ((45^{\circ})) 일지도, ((360 + 45^{\circ})) 일지도, ((360 + 360 + 45^{\circ})) 일지도, ((-360 + 45^{\circ})) 일지도 모르는 저 각에 대한 무수히 많은 표현을 일반화 시키기로 했습니다.
그것이 바로 일반각(General Angle, 一般角)입니다.
일반각 ((\theta))의 크기는 다음과 같습니다.
$ \theta = 360^{\circ} \cdot n + \phi^{\circ} $
단, ((n \in \mathbb{Z}, 0^{\circ} \leq \phi \leq 360^{\circ}))
그리고 이것을 호도법으로 정의하면 다음과 같습니다.
$ \theta = 2n \pi + \phi $
단, ((n \in \mathbb{Z}, 0 \leq \phi \leq 2 \pi ))
((\in)) 기호는 원소가 집합에 포함된다는 뜻입니다.
(( \mathbb{Z} )) 는 정수의 집합을 뜻하는 기호이며, Z는 숫자를 뜻하는 독일어 Zahlen의 첫 글자에서 따 왔습니다.
일반각은 각의 크기가 아닌 동경의 위치를 중요시하는 관점으로 각을 봅니다.
이는 이후 나올 삼각비를 삼각함수로 확장시키는 것에 중요한 역할을 합니다.
다음 글에서는 본격적으로 삼각법을 배워보겠습니다.
